Można powiedzieć, że całą matematykę przenika idea nieskończoności. W matematyce rozważamy z reguły nie pojedyncze obiekty (liczby, figury geometryczne), lecz całe klasy takich obiektów: zbiór wszystkich liczb N, wszystkich trójkątów itp. Takie właśnie zbiory zawierają nieskończenie wiele pojedynczych elementów. Dlatego matematycy i filozofowie interesowali się zawsze pojęciem nieskończoności. Zainteresowanie to powstało wtedy, gdy uświadomiono sobie, że po każdej liczbie naturalnej występuje następna, tzn., że ciąg liczb naturalnych jest nieskończony. Poincare określił właściwy punkt widzenia na konstrukcje matematyczne w stwierdzeniu: "Jeżeli ktoś chce użyć krótkiego dosadnego słowa, które by trafiło w żywe sedno matematyki, powinien powiedzieć, że jest ona nauką o nieskończoności". Czy wobec tego można mówić o równoliczności zbiorów nieskończonych?, czy można "porównywać" liczebność elementów zbiorów nieskończonych? Dlaczego  , choć jest liczbą niewymierną, czyli posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone, a jednak jest długością odcinka? Zbiory nieskończone mają niezwykłe własności. W miarę odkrywania tych własności matematycy musieli coraz bardziej uściślać swoje rozważania, coraz dokładniej analizować swoje dowody. Nieskończoność już od czasów starożytnych stanowi inspiracje, zainteresowanie fascynacje dla matematyków, ale z drugiej strony przysparza wielu tajemnic, sprzeczności z rzeczywistością i zdrowym rozsądkiem. W wielu przypadkach pokazuje swą potęgę, wzbudza zainteresowanie i dociekliwość, stanowi twór niewytłumaczalnych zjawisk w ścisłej nauce, jaką jest matematyka. A jednak ciągle pomimo swej niewytłumaczalności w wielu wypadkach stanowi wenę dla wielu badaczy. Hilbert w swej rozprawie "O nieskończoności" napisał "Od najdawniejszych czasów żadne zagadnienie nie poruszało tak głęboko ludzkich umysłów jak zagadnienie nieskończoności i chyba żadna idea nie oddziaływała na myśl ludzką tak pobudzająco i tak płodnie jak idea nieskończoności. Toteż pojęcie nieskończoności wymaga wyjaśnień, i to może dłuższych niż każde inne". Właśnie, dlatego warto przyjrzeć się bliżej nieskończoności i jej własnością i choć w części postaram się odsłonić jej potęgę i tajemnicę. POJĘCIE NIESKOŃCZONOŚCI W DAWNYCH CZASACH Ważne, że zjawisko nieskończoności ma swój odpowiednik w rozwoju pojęć matematycznych już w najdawniejszych czasach. Jak wynika z badań historyków matematyki, u różnych narodów notuje się okresy, gdy mówi się o największych liczbach. Liczbą tą jest 1000, czasem jakaś inna, ale w miarę rozwoju danej kultury materialnej liczba ta staje się coraz większa, aż wreszcie powstaje pojęcie nieskończoności. W okresie historycznym powstanie wielkich liczb i pojęcie nieskończoności wiąże się często z kultem religijnym. Ważną rolę odgrywają wielkie liczby i pierwsze sformułowanie nieskończoności w religii Chińczyków i Hindusów, które symbolizują u tych narodów potęgę bóstw. Archimedes (III w. p.n.e.) miał już zupełnie skrystalizowane pojęcie nieskończoności, co uwiecznił w swoich dziełach: np.: "O liczeniu piasku" zajmuje się on liczeniem ziaren piasku, gdyż jak twierdzi "ludzie uważają, że ziaren piasku jest najwięcej na świecie". Archimedes pokazuje, że jeśli wypełnimy piaskiem nawet przestrzenie wszechświata, to jego ilość da się wyrazić skończoną liczbą ziaren, podczas gdy liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. Grecy znali i praktykowali dziesiątkowy układ pozycyjny, ale właśnie tylko ustnie. Dla pierwszych pięciu kolejnych pozycji mieli 5 nazw: jedność, dziesiątka, setka tysiąc i miriada, (czyli 10 000). Następnie liczyli już na miriady, więc: dziesięć miriad. sto miriad... miriada miriad itd. Gdyby Archimedes zechciał obliczoną przez się liczbę nazwać wg tej nomenklatury, byłaby to pewnie jakaś miriada powtórzona... wiele miriad razy. Obrał inną drogę. Omawia mianowicie postęp geometryczny o ilorazie równym 10. Nie mogąc użyć ani nieznanego wówczas zera, ani wykładników potęg, rozpatruje grupy liczb ustawionych po 8 w rzędzie:  Wcześniej, czy później musiało nasunąć się pytanię.jak teoretycznie uzasadnić stosowane metody obliczeń. Nieuniknione stało się wówczas zetknięcie matematyków z koncepcją nieskończoności. Pierwsze próby wyjaśnienia tego problemu podjął Demokryt (ok. 460-370 p.n.e.). który w myśl swojej atomistycznej teorii. Wszechświat składa się z nieskończenie wielu atomów, które są w ciągłym ruchu, dlatego wg Demokryta Wszechświat - to istniejąca wiecznie, nieskończona mnogość rodzących się i ginących światów. Wykorzystywał on swoją teorię atomistyczną w rozważaniach matematycznych. Bryły, jak walec, stożek, kula składają się więc ze skończonej liczby drobnych, niepodzielnych części (np. koło można uznać za wielokąt o bardzo dużej liczbie boków). Demokryt doszedł do wyznaczenia objętości stożka, rozbijając go na bardzo dużą liczbę cienkich płytek, którą w przybliżeniu uważa za walec i oblicza objętość stożka jako sumę bardzo dużej liczby walców o różnych rozmiarach. Koncepcja przedstawiona przez Demokryta nie jest ideą nieskończenie małej, gdyż nieskończenie mała może stać się mniejsza od dowolnie małej liczby dodatniej, a Demokryt dzielił bryły na niepodzielne części wg swej teorii. Idea nieskończenie małych występuje z pewnością w pracach Archimedesa (287-212 p.n.e.). Jemu to przypisuje się opracowanie tzw. metody wyczerpywania. W jednej z prac - o pomiarze koła - podaje on następujące rozumowanie prowadzące do wyznaczenia pola koła. W dane koło wpisujemy sześciokąt foremny. Pole tego sześciokąta wyczerpuje pole koła z pewnym niedomiarem, gdyż nie uwzględniamy pól sześciu odcinków kołowych. Następnie połowiąc każdy z 6 łuków odpowiadających sześciokątowi dochodzimy do dwunastokątna foremnego. Pole 12-kąta jest większe od pola 6-kąta, więc wyczerpuje koło z mniejszym niedomiarem niż sześciokąt. Tą metodą przechodzimy do 24-kąta, do 48-kąta, do 96-kąta itd. w nieskończoność. Zaskakująca jest też odpowiedź na pytanie "gdzie jest więcej punktów, na odcinku o długości l mm, czy na odcinku o długości 1 m? Logika nie budzi żadnych wątpliwości. Jasne, że na odcinku 1 m jest znacznie więcej punktów, gdyż jest on 1000-krotnie dłuższy. Pojawiają się wątpliwości, co do takiej odpowiedzi, gdyż zbiory nieskończone nie przypominają niczego, co znamy z życia codziennego. W rzeczywistości, na bardzo krótkim i na bardzo długim odcinku jest tyle samo punktów. Trudno pogodzić się jednak z tą myślą, że odcinek o długości miliona lat świetlnych ma tyle punktów, co promień jądra atomowego. Jeszcze bardziej zaskakujący jest fakt, że na całej prostej nieskończonej nie ma więcej punktów niż na odcinku, tzn. że między zbiorem punktów na prostej i zbiorem punktów na odcinku można ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną. Wobec tego zbiór punktów dowolnego odcinka jest równej mocy ze zbiorem prostej. Przedstawiłam tylko wąski zakres tajemnic, jakie kryje w sobie nieskończoność w różnych dziedzinach matematyki Skoro myśl ludzka jest nieskończona, czy kiedykolwiek będziemy w stanie zrozumieć ideę nieskończoności. Zachęcam wszystkich do próby zbadania i rozwikłania wielkich zagadek nieskończoności. |
